映射与函数
映射
文章目录
映射基本概念映射的类型映射的表示单射、双射、满射单射（Injective）定义示例
满射（Surjective）定义示例
双射（Bijective）定义示例
逆映射与复合映射逆映射（Inverse Mapping）定义示例
复合映射（Composite Mapping）定义示例
复合映射的性质示例
函数函数的基本概念初等函数类型函数的性质函数的运算线性函数线性函数的基本概念线性函数的性质线性函数的公式斜率的计算公式截距的计算公式线性方程的解法
指数函数指数函数的基本概念指数函数的性质指数函数的公式
对数函数对数函数的基本概念对数函数的性质对数函数的公式
三角函数三角函数的基本概念三角函数的性质三角函数的公式
幂函数幂函数的基本概念幂函数的性质幂函数的公式
基本概念
映射（Mapping）是数学中的一个基本概念，它描述了从一个集合（称为定义域）到另一个集合（称为值域）的关系。映射可以是多对一、一对一或一对多的关系。
定义域（Domain）：映射的输入集合，即所有可能的输入值。值域（Codomain）：映射的输出集合，即所有可能的输出值。映射关系：定义域中的每个元素都与值域中的一个或多个元素相关联。
映射的类型
一对一映射（Injective Mapping）：
定义域中的每个元素都与值域中的唯一一个元素相关联。如果
f
(
a
)
=
f
(
b
)
f(a)=f(b)
f(a)=f(b)则
a
=
b
a=b
a=b示例：
f
(
x
)
=
2
x
f(x)=2x
f(x)=2x是一个一对一映射。 多对一映射（Surjective Mapping）：
值域中的每个元素都至少与定义域中的一个元素相关联。示例：
f
(
x
)
=
x
2
f(x)=x^2
f(x)=x2 是一个多对一映射，因为多个
x
x
x 值可以映射到同一个
x
2
x^2
x2值。 一对多映射（Non-Injective and Non-Surjective Mapping）：
定义域中的某些元素与值域中的多个元素相关联。示例：一个班级中的每个学生可以映射到他们的所有课程。
映射的表示
映射可以用多种方式表示，包括：
函数表示法：
f
:
A
→
B
f:A→B
f:A→B，表示从集合
A
A
A到集合
B
B
B 的映射。表格表示法：列出定义域中的每个元素及其对应的值域元素。图形表示法：使用图形或图表来表示映射关系。
单射、双射、满射
单射（Injective）
单射（也称为“一对一映射”或“单射函数”）是指定义域中的每个元素都与值域中的唯一一个元素相关联。换句话说，不同的输入值不会映射到相同的输出值。
定义
设
f
:
A
→
B
f:A→B
f:A→B 是一个映射。如果对于任意的
a
1
,
a
2
∈
A
a1,a2∈A
a1,a2∈A，当
a
1
≠
a
2
a1≠a2
a1=a2 时，有
f
(
a
1
)
≠
f
(
a
2
)
f(a1)≠f(a2)
f(a1)=f(a2)，则称
f
f
f是单射。
示例
f
(
x
)
=
2
x
f(x)=2x
f(x)=2x是一个单射函数，因为对于任意的
x
1
≠
x
2
x_1≠x_2
x1=x2，有
2
x
1
≠
2
x
2
2x_1≠2x_2
2x1=2x2。
满射（Surjective）
满射（也称为“映上映射”或“满射函数”）是指值域中的每个元素都至少与定义域中的一个元素相关联。换句话说，值域中的每个元素都是某个输入值的输出值。
定义
设
f
:
A
→
B
f:A→B
f:A→B是一个映射。如果对于任意的
b
∈
B
b∈B
b∈B，存在
a
∈
A
a∈A
a∈A使得
f
(
a
)
=
b
f(a)=b
f(a)=b，则称
f
f
f是满射。
示例
f
(
x
)
=
x
2
f(x)=x^2
f(x)=x2是一个满射函数，如果定义域和值域都是非负实数
R
+
∪
0
\mathbb{R^+}∪{0}
R+∪0。
双射（Bijective）
双射（也称为“一一对应映射”或“双射函数”）是指既是单射又是满射的映射。换句话说，定义域中的每个元素都与值域中的唯一一个元素相关联，并且值域中的每个元素都至少与定义域中的一个元素相关联。
定义
设
f
:
A
→
B
f:A→B
f:A→B是一个映射。如果
f
f
f既是单射又是满射，则称
f
f
f是双射。
示例
f
(
x
)
=
x
3
f(x)=x^3
f(x)=x3是一个双射函数，如果定义域和值域都是实数
R
\mathbb{R}
R。
逆映射与复合映射
逆映射（Inverse Mapping）
逆映射是指一个映射的反向操作，即将值域中的元素映射回定义域中的元素。只有双射（Bijective）映射才有逆映射，因为只有双射映射才能保证每个值域中的元素都有唯一的定义域中的元素与之对应。
定义
设
f
:
A
→
B
f:A→B
f:A→B是一个双射映射。逆映射
f
−
1
:
B
→
A
f^{−1}:B→A
f−1:B→A定义为：对于任意的
b
∈
B
b∈B
b∈B，存在唯一的
a
∈
A
a∈A
a∈A使得
f
(
a
)
=
b
f(a)=b
f(a)=b，并且
f
−
1
(
b
)
=
a
f^{−1}(b)=a
f−1(b)=a。
示例
设
f
:
R
→
R
，
f
(
x
)
=
2
x
f:\mathbb{R}→\mathbb{R}，f(x)=2x
f:R→R，f(x)=2x。
逆映射
f
−
1
:
:
R
→
:
R
，
f
−
1
(
y
)
=
y
2
f^{−1}::\mathbb{R}→:\mathbb{R}，f^{−1}(y)=\frac { y}{2}
f−1::R→:R，f−1(y)=2y。
复合映射（Composite Mapping）
复合映射是指将两个或多个映射组合在一起，形成一个新的映射。复合映射的定义域是第一个映射的定义域，值域是最后一个映射的值域。
定义
设 $f:A→B $和 $g:B→C $$是两个映射。复合映射
g
∘
f
:
A
→
C
g∘f:A→C
g∘f:A→C定义为：对于任意的 $a∈A $，有
(
g
∘
f
)
(
a
)
=
g
(
f
(
a
)
)
(g∘f)(a)=g(f(a))
(g∘f)(a)=g(f(a))。
示例
设
f
:
R
→
R
，
f
(
x
)
=
x
+
1
f:\mathbb{R}→\mathbb{R}，f(x)=x+1
f:R→R，f(x)=x+1。设
g
:
R
→
R
，
g
(
x
)
=
x
2
g:\mathbb{R}→\mathbb{R}，g(x)=x^2
g:R→R，g(x)=x2。
复合映射
g
∘
f
:
R
→
R
，
(
g
∘
f
)
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
=
g
(
x
+
1
)
=
(
x
+
1
)
2
g∘f:\mathbb{R}→\mathbb{R}，(g∘f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^2
g∘f:R→R，(g∘f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)2。
复合映射的性质
结合律：
设
f
:
A
→
B
，
g
:
B
→
C
，
h
:
C
→
D
f:A→B，g:B→C，h:C→D
f:A→B，g:B→C，h:C→D。则 h∘(g∘f)=(h∘g)∘fh∘(g∘f)=(h∘g)∘f。 单位元：
设
f
:
A
→
B
f:A→B
f:A→B。单位映射
i
d
A
:
A
→
A
id_A:A→A
idA:A→A和
i
d
B
:
B
→
B
id_B:B→B
idB:B→B满足
f
∘
i
d
A
=
f
f∘id_A=f
f∘idA=f和
i
d
B
∘
f
=
f
id_B∘f=f
idB∘f=f。 逆映射：
如果
f
:
A
→
B
f:A→B
f:A→B是双射，则
f
−
1
∘
f
=
i
d
A
f^{−1}∘f=id_A
f−1∘f=idA和
f
∘
f
−
1
=
i
d
B
f∘f^{−1}=id_B
f∘f−1=idB。
示例
逆映射：
f
(
x
)
=
2
x
f(x)=2x
f(x)=2x，逆映射
f
−
1
(
y
)
=
y
2
f^{−1}(y)=\frac {y}{2}
f−1(y)=2y。 复合映射：
f
(
x
)
=
x
+
1
，
g
(
x
)
=
x
2
f(x)=x+1，g(x)=x^2
f(x)=x+1，g(x)=x2，复合映射
g
∘
f
(
x
)
=
(
x
+
1
)
2
g∘f(x)=(x+1)^2
g∘f(x)=(x+1)2。
函数
函数的基本概念
定义域（Domain）：函数的输入集合，即所有可能的输入值。值域（Codomain）：函数的输出集合，即所有可能的输出值。函数关系：定义域中的每个元素都与值域中的唯一一个元素相关联。
初等函数类型
初等函数是指可以通过有限次基本运算（加、减、乘、除、幂、开方、指数、对数、三角函数、反三角函数）和常数组合而成的函数。
线性函数：
形式：
f
(
x
)
=
a
x
+
b
f(x)=ax+b
f(x)=ax+b，其中
a
a
a和
b
b
b是常数。示例：
f
(
x
)
=
2
x
+
3
f(x)=2x+3
f(x)=2x+3。 多项式函数：
形式：
f
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
f(x)=a_nx_n+a_{n−1}x_{n−1}+⋯+a_1x+a_0
f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0，其中
a
i
a_i
ai是常数。示例：
f
(
x
)
=
x
2
+
2
x
+
1
f(x)=x^2+2x+1
f(x)=x2+2x+1。 指数函数：
形式：
f
(
x
)
=
a
x
f(x)=a^x
f(x)=ax，其中
a
a
a是常数且
a
>
0
a>0
a>0且
a
≠
1
a≠1
a=1。示例：
f
(
x
)
=
2
x
f(x)=2^x
f(x)=2x。 对数函数：
形式：
f
(
x
)
=
l
o
g
a
(
x
)
f(x)=\ log_a(x)
f(x)= loga(x)，其中
a
a
a是常数且
a
>
0
a>0
a>0且
a
≠
1
a≠1
a=1。示例：
f
(
x
)
=
log
2
(
x
)
f(x)=\log_2(x)
f(x)=log2(x)。 三角函数：
形式：
f
(
x
)
=
s
i
n
(
x
)
f(x)=sin(x)
f(x)=sin(x)，
f
(
x
)
=
c
o
s
(
x
)
f(x)=cos(x)
f(x)=cos(x)，
f
(
x
)
=
t
a
n
(
x
)
f(x)=tan(x)
f(x)=tan(x) 等。示例：
f
(
x
)
=
s
i
n
(
x
)
f(x)=sin(x)
f(x)=sin(x)。 反三角函数：
形式：
f
(
x
)
=
a
r
c
s
i
n
(
x
)
f(x)=arcsin(x)
f(x)=arcsin(x)，
f
(
x
)
=
a
r
c
c
o
s
(
x
)
f(x)=arccos(x)
f(x)=arccos(x)，
f
(
x
)
=
a
r
c
t
a
n
(
x
)
f(x)=arctan(x)
f(x)=arctan(x) 等。示例：
f
(
x
)
=
a
r
c
t
a
n
(
x
)
f(x)=arctan(x)
f(x)=arctan(x)。
函数的性质
单调性：
单调递增：如果对于任意的
x
1
<
x
2
x1 x1 f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) f(x1)≤f(x2) f(x1)≤f(x2)。单调递减：如果对于任意的 x 1 < x 2 x1 x1 f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) f(x1)≥f(x2) f(x1)≥f(x2)。 奇偶性： 奇函数：如果对于任意的 x x x*，有 f ( − x ) = − f ( x ) f(−x)=−f(x) f(−x)=−f(x)。偶函数：如果对于任意的 x x x，有 f ( − x ) = f ( x ) f(−x)=f(x) f(−x)=f(x)。 周期性： 周期函数：如果存在常数 T T T，使得对于任意的 x x x，有 f ( x + T ) = f ( x ) f(x+T)=f(x) f(x+T)=f(x)。 有界性： 上界：存在一个常数 M M M，使得对于定义域中的所有 x x x，有 f ( x ) ≤ M f(x)≤M f(x)≤M。下界：存在一个常数 m m m，使得对于定义域中的所有 x x x，有 f ( x ) ≥ m f(x)≥m f(x)≥m。有界：既有上界又有下界。 函数的运算 加法和减法： 定义： ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) (f+g)(x)=f(x)+g(x) (f+g)(x)=f(x)+g(x)， ( f − g ) ( x ) = f ( x ) − g ( x ) (f−g)(x)=f(x)−g(x) (f−g)(x)=f(x)−g(x)。示例：设 f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f(x)=x2 和 g ( x ) = 2 x g(x)=2x g(x)=2x，则 ( f + g ) ( x ) = x 2 + 2 x (f+g)(x)=x^2+2x (f+g)(x)=x2+2x， ( f − g ) ( x ) = x 2 − 2 x (f−g)(x)=x^2−2x (f−g)(x)=x2−2x 乘法和除法： 定义： ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) (f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x) (f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)， ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) (f⋅g)(x)=f(x)g(x) (f⋅g)(x)=f(x)g(x)（在 g ( x ) ≠ 0 g(x)≠0 g(x)=0的定义域内）。示例：设 f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f(x)=x2和 g ( x ) = 2 x g(x)=2x g(x)=2x，则 ( f ⋅ g ) ( x ) = 2 x 3 (f⋅g)(x)=2x^3 (f⋅g)(x)=2x3， ( f ⋅ g ) ( x ) = x 2 (f⋅g)(x)=x2 (f⋅g)(x)=x2在 x ≠ 0 x≠0 x=0的定义域内）。 复合运算： 定义： ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) (g∘f)(x)=g(f(x)) (g∘f)(x)=g(f(x))，表示先应用 f f f再应用 g g g。示例：设 f ( x ) = x + 1 f(x)=x+1 f(x)=x+1和 g ( x ) = x 2 g(x)=x^2 g(x)=x2，则 ( g ∘ f ) ( x ) = ( x + 1 ) 2 (g∘f)(x)=(x+1)^2 (g∘f)(x)=(x+1)2。 逆运算： 定义：逆函数 f − 1 : B → A f^{−1}:B→A f−1:B→A满足 f − 1 ( f ( x ) ) = x f^{−1}(f(x))=x f−1(f(x))=x 和 f ( f − 1 ( y ) ) = y f(f^{−1}(y))=y f(f−1(y))=y。示例：设$ f(x)=2x$，则逆函数 f − 1 ( y ) = y 2 f^{−1}(y)= \frac {y}{2} f−1(y)=2y。 线性函数 线性函数的基本概念 定义：线性函数的形式为 $f(x)=ax+b $，其中 a a a和 b b b是常数。定义域：通常为所有实数 $\mathbb{R} $。值域：当 $a≠0 $时，值域为所有实数 R \mathbb{R} R；当 a = 0 a=0 a=0时，值域为常数 b b b*。 线性函数的性质 斜率： 斜率 $a $表示函数图像的倾斜程度。如果 a > 0 a>0 a>0，函数是单调递增的；如果 a < 0 a<0 a<0，函数是单调递减的。 截距： 截距 b b b表示函数图像与 y y y轴的交点。当 x = 0 x=0 x=0时， f ( 0 ) = b f(0)=b f(0)=b。 单调性： 线性函数是单调的，即在整个定义域内要么单调递增，要么单调递减。 直线方程： 线性函数的图像是一条直线，可以用点斜式方程 y − y 1 = a ( x − x 1 ) y−y_1=a(x−x_1) y−y1=a(x−x1)表示，其中 $(x_1,y_1) $ 是直线上的一点。 线性函数的公式 一般形式： f ( x ) = a x + b f(x)=ax+b f(x)=ax+b 斜率-截距形式： y = m x + c y=mx+c y=mx+c，其中 m m m是斜率， c c c是截距。 点斜式方程： $y−y_1=m(x−x_1) $，其中 $(x_1,y_1) $是直线上的一点， m m m是斜率。 两点式方程： y − y 1 y 2 − y 1 = x − x 1 x 2 − x 1 \frac {y−y_1}{y_2−y_1}=\frac {x−x_1}{x_2−x_1} y2−y1y−y1=x2−x1x−x1，其中 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1,y1)和 ( x 2 , y 2 ) (x_2,y_2) (x2,y2)是直线上的两点。 斜率的计算公式 两点法： 如果已知直线上的两点 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1,y1)和 $(x_2,y_2) $，斜率 m m m 可以通过以下公式计算： m= y 2 − y 1 x 2 − x 1 \frac{y_2−y_1}{x_2−x_1} x2−x1y2−y1 导数法： 线性函数的导数（即斜率）为常数 a a a： $\frac {d} {dx}(ax+b)=a $ 截距的计算公式 截距公式： 截距 b b b可以通过将 x = 0 x=0 x=0代入函数 $f(x)=ax+b $中得到： b = f ( 0 ) b=f(0) b=f(0) 线性方程的解法 代入法： 将已知点代入方程 y = a x + b y=ax+b y=ax+b中，解出 a a a和 b b b。 消元法： 通过两个已知点建立两个方程，消去一个变量，解出 a a a和 b b b。 指数函数 指数函数的基本概念 定义：指数函数的形式为 f ( x ) = a x f(x)=a^x f(x)=ax，其中 a a a 是常数且 a > 0 a>0 a>0 且 a ≠ 1 a≠1 a=1。定义域：通常为所有实数 R \mathbb{R} R。值域：当 a > 1 a>1 a>1时，值域为 (0,∞)$；当 $ 0 < a < 1 0 0 ( 0 , ∞ ) (0,∞) (0,∞)。 指数函数的性质 单调性： 如果 a > 1 a>1 a>1，函数 f ( x ) = a x f(x)=a^x f(x)=ax是单调递增的。如果 0 < a < 1 0 0 f ( x ) = a x f(x)=a^x f(x)=ax 是单调递减的。 对称性： 函数 f ( x ) = a x f(x)=a^x f(x)=ax和 f ( x ) = ( 1 a ) x f(x)=(\frac1a)x f(x)=(a1)x关于 y y y轴对称。 渐近线： 函数 f ( x ) = a x f(x)=a^x f(x)=ax在 x x x轴上有水平渐近线 y = 0 y=0 y=0。 连续性： 指数函数在其定义域内是连续的。 指数函数的公式 一般形式： f ( x ) = a x f(x)=a^x f(x)=ax 自然指数函数： f ( x ) = e x f(x)=e^x f(x)=ex，其中 e e e是自然对数的底数，约等于 2.71828。 指数函数的导数： d d x ( a x ) = a x l n ( a ) \frac d{dx}(ax)=a^xln(a) dxd(ax)=axln(a) d d x ( e x ) = e x \frac d{dx}(e^x)=e^x dxd(ex)=ex 指数函数的积分： ∫ a x d x = a x l n ( a ) + C ∫a^x dx= \frac {a^x}{ln(a)}+C ∫ax dx=ln(a)ax+C ∫ e x d x = e x + C ∫e^x dx=e^x+C ∫ex dx=ex+C 对数函数 对数函数（Logarithmic Function）是指数函数的逆函数，描述了以固定底数为基数的对数关系。对数函数的形式为 f ( x ) = l o g a ( x ) f(x)=log_a(x) f(x)=loga(x)，其中 a a a是常数且 a > 0 a>0 a>0且 a ≠ 1 a≠1 a=1。 对数函数的基本概念 定义：对数函数的形式为 f ( x ) = l o g a ( x ) f(x)=log_a(x) f(x)=loga(x)，其中 a a a是常数且 a > 0 a>0 a>0且 a ≠ 1 a≠1 a=1。定义域：通常为所有正实数 ( 0 , ∞ ) (0,∞) (0,∞)。值域：通常为所有实数 R \mathbb{R} R。 对数函数的性质 单调性： 如果 a > 1 a>1 a>1，函数 f ( x ) = l o g a ( x ) f(x)=log_a(x) f(x)=loga(x)是单调递增的。如果 0 < a < 1 0 0 f ( x ) = l o g a ( x ) f(x)=log_a(x) f(x)=loga(x)是单调递减的。 对称性： 函数 f ( x ) = l o g a ( x ) f(x)= log_a {(x)} f(x)=loga(x)和 f ( x ) = l o g 1 a ( x ) f(x)=log_\frac{1}{ a}(x) f(x)=loga1(x)关于 x x x轴对称。 渐近线： 函数 f ( x ) = l o g a ( x ) f(x)=log_a(x) f(x)=loga(x)在 y y y轴上有垂直渐近线 x = 0 x=0 x=0。 连续性： 对数函数在其定义域内是连续的。 对数函数的公式 一般形式： f ( x ) = l o g a ( x ) f(x)=log_a(x) f(x)=loga(x) 自然对数函数： f ( x ) = l n ( x ) f(x)=ln(x) f(x)=ln(x)，其中 l n ( x ) = l o g e ( x ) ln(x)=log_e(x) ln(x)=loge(x)， e e e是自然对数的底数，约等于 2.71828。 对数函数的导数： d d x ( l o g a ( x ) ) = 1 x l n ( a ) \frac d{dx}(loga(x))=\frac1{xln(a)} dxd(loga(x))=xln(a)1 d d x ( l n ( x ) ) = 1 x \frac d{dx}(ln(x))=\frac1{x} dxd(ln(x))=x1 对数函数的积分： ∫ l o g a ( x ) d x = x l o g a ( x ) − x l n ( a ) + C ∫log_a(x) dx=\frac{xlog_a(x)−x}{ln(a)}+C ∫loga(x) dx=ln(a)xloga(x)−x+C ∫ l n ( x ) d x = x l n ( x ) − x + C ∫ ln(x) dx=xln(x)−x+C ∫ln(x) dx=xln(x)−x+C 三角函数 三角函数（Trigonometric Functions）是数学中非常重要的一类函数，描述了角度和三角形边长之间的关系。常见的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）、正切函数（tangent）、余切函数（cotangent）、正割函数（secant）和余割函数（cosecant）。 三角函数的基本概念 定义： 正弦函数： s i n ( θ ) = 对边 斜边 sin(θ)=\frac{对边}{斜边} sin(θ)=斜边对边余弦函数： c o s ( θ ) = 邻边 斜 边 cos(θ)=\frac{邻边}斜边 cos(θ)=斜邻边边正切函数： t a n ( θ ) = 对边 邻边 = s i n ( θ ) c o s ( θ ) tan(θ)=\frac{对边}{邻边}=\frac {sin(θ)}{cos(θ)} tan(θ)=邻边对边=cos(θ)sin(θ)余切函数： c o t ( θ ) = 邻边 对边 = c o s ( θ ) s i n ( θ ) cot(θ)=\frac{邻边}{对边}=\frac{cos(θ)}{sin(θ)} cot(θ)=对边邻边=sin(θ)cos(θ)正割函数： s e c ( θ ) = 斜边 邻边 = 1 c o s ( θ ) sec(θ)=\frac{斜边}{邻边}=\frac1{cos(θ)} sec(θ)=邻边斜边=cos(θ)1余割函数： c s c ( θ ) = 斜边 对边 = 1 s i n ( θ ) csc(θ)=\frac{斜边}{对边}=\frac1{sin(θ)} csc(θ)=对边斜边=sin(θ)1 定义域： 正弦函数和余弦函数的定义域为所有实数 R \mathbb{R} R。正切函数和余切函数的定义域为所有实数，但正切函数在 θ = π 2 + k π θ=\frac π2+kπ θ=2π+kπ（其中 k k k为整数）处无定义，余切函数在 θ = k π θ=kπ θ=kπ其中 k k k为整数）处无定义。正割函数和余割函数的定义域为所有实数，但正割函数在 θ = π 2 + k π θ=\frac π2+kπ θ=2π+kπ其中 k k k为整数）处无定义，余割函数在 θ = k π θ=kπ θ=kπ(其中 k k k为整数）处无定义。 值域： 正弦函数和余弦函数的值域为 [ − 1 , 1 ] [−1,1] [−1,1]。正切函数的值域为 R \mathbb{R} R。余切函数的值域为 R \mathbb{R} R。正割函数和余割函数的值域为 ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , ∞ ) (−∞,−1]∪[1,∞) (−∞,−1]∪[1,∞)。 三角函数的性质 周期性： 正弦函数和余弦函数的周期为 2 π 2π 2π。正切函数和余切函数的周期为 π π π。 奇偶性： 正弦函数是奇函数： s i n ( − θ ) = − s i n ( θ ) sin(−θ)=−sin(θ) sin(−θ)=−sin(θ)。余弦函数是偶函数： c o s ( − θ ) = c o s ( θ ) cos(−θ)=cos(θ) cos(−θ)=cos(θ)。正切函数是奇函数： t a n ( − θ ) = − t a n ( θ ) tan(−θ)=−tan(θ) tan(−θ)=−tan(θ)。余切函数是奇函数： c o t ( − θ ) = − c o t ( θ ) cot(−θ)=−cot(θ) cot(−θ)=−cot(θ)。 对称性： 正弦函数和余弦函数关于 y y y轴对称。正切函数和余切函数关于原点对称。 连续性： 正弦函数和余弦函数在其定义域内是连续的。正切函数和余切函数在其定义域内是连续的，但在无定义点处不连续。 三角函数的公式 基本公式： s i n 2 ( θ ) + c o s 2 ( θ ) = 1 sin^2(θ)+cos^2(θ)=1 sin2(θ)+cos2(θ)=1 t a n ( θ ) = s i n ( θ ) c o s ( θ ) tan(θ)=\frac{sin(θ)}{cos(θ)} tan(θ)=cos(θ)sin(θ) c o t ( θ ) = c o s ( θ ) s i n ( θ ) cot(θ)=\frac{cos(θ)}{sin(θ)} cot(θ)=sin(θ)cos(θ) s e c ( θ ) = 1 c o s ( θ ) sec(θ)=\frac{1}{cos(θ)} sec(θ)=cos(θ)1 c s c ( θ ) = 1 s i n ( θ ) csc(θ)=\frac {1}{sin(θ)} csc(θ)=sin(θ)1 加法公式： s i n ( α ± β ) = s i n ( α ) c o s ( β ) ± c o s ( α ) s i n ( β ) sin(α±β)=sin(α)cos(β)±cos(α)sin(β) sin(α±β)=sin(α)cos(β)±cos(α)sin(β) c o s ( α ± β ) = c o s ( α ) c o s ( β ) ∓ s i n ( α ) s i n ( β ) cos(α±β)=cos(α)cos(β)∓sin(α)sin(β) cos(α±β)=cos(α)cos(β)∓sin(α)sin(β) t a n ( α ± β ) = t a n ( α ) ± t a n ( β ) 1 ∓ t a n ( α ) t a n ( β ) tan(α±β)=\frac{tan(α)±tan(β)}{1∓tan(α)tan(β)} tan(α±β)=1∓tan(α)tan(β)tan(α)±tan(β) 倍角公式： s i n ( 2 θ ) = 2 s i n ( θ ) c o s ( θ ) sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ) sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ) c o s ( 2 θ ) = c o s 2 ( θ ) − s i n 2 ( θ ) = 2 c o s 2 ( θ ) − 1 = 1 − 2 s i n 2 ( θ ) cos(2θ)=cos^2(θ)−sin^2(θ)=2cos^2(θ)−1=1−2sin^2(θ) cos(2θ)=cos2(θ)−sin2(θ)=2cos2(θ)−1=1−2sin2(θ) t a n ( 2 θ ) = 2 t a n ( θ ) 1 − t a n 2 ( θ ) tan(2θ)=\frac{2tan(θ)}{1−tan^2(θ)} tan(2θ)=1−tan2(θ)2tan(θ) 半角公式： s i n ( θ 2 ) = ± 1 − c o s ( θ ) 2 sin(\frac{θ}{2})=±\sqrt{{\frac{1−cos(θ)}{2}}} sin(2θ)=±21−cos(θ) c o s ( θ 2 ) = ± 1 + c o s ( θ ) 2 cos(\frac{θ}{2} )=±\sqrt{\frac{1+cos(θ)}{2}} cos(2θ)=±21+cos(θ) t a n ( θ 2 ) = ± 1 − c o s ( θ ) 1 + c o s ( θ ) = s i n ( θ ) 1 + c o s ( θ ) = 1 − c o s ( θ ) s i n ( θ ) tan(\fracθ2)={±\sqrt \frac{1−cos(θ)}{1+cos(θ)}}= \frac{sin(θ)}{1+cos(θ)}=\frac{1−cos(θ)}{sin(θ)} tan(2θ)=±1+cos(θ)1−cos(θ) =1+cos(θ)sin(θ)=sin(θ)1−cos(θ) 积化和差公式 正弦和余弦的积化和差： s i n ( A ) s i n ( B ) = 1 2 [ c o s ( A − B ) − c o s ( A + B ) ] sin(A)sin(B)=\frac12[cos(A−B)−cos(A+B)] sin(A)sin(B)=21[cos(A−B)−cos(A+B)] c o s ( A ) c o s ( B ) = 1 2 [ c o s ( A − B ) + c o s ( A + B ) ] cos(A)cos(B)=\frac12[cos(A−B)+cos(A+B)] cos(A)cos(B)=21[cos(A−B)+cos(A+B)] s i n ( A ) c o s ( B ) = 1 2 [ s i n ( A + B ) + s i n ( A − B ) ] sin(A)cos(B)=\frac 12[sin(A+B)+sin(A−B)] sin(A)cos(B)=21[sin(A+B)+sin(A−B)] c o s ( A ) s i n ( B ) = 1 2 [ s i n ( A + B ) − s i n ( A − B ) ] cos(A)sin(B)=\frac12[sin(A+B)−sin(A−B)] cos(A)sin(B)=21[sin(A+B)−sin(A−B)] 幂函数 幂函数的基本概念 定义：幂函数的形式为 f ( x ) = x n f(x)=x^n f(x)=xn，其中 n n n是常数。定义域：通常为所有非负实数 [ 0 , ∞ ) [0,∞) [0,∞)，如果 n n n是整数，定义域可以扩展到所有实数 R \mathbb{R} R。值域：取决于 n n n 的值： 如果 n n n是正整数，值域为 [ 0 , ∞ ) [0,∞) [0,∞)。如果 n n n是负整数，值域为 ( 0 , ∞ ) (0,∞) (0,∞)。如果 n n n是分数，值域取决于 n n n的具体值。 幂函数的性质 单调性： 如果 n > 0 n>0 n>0，函数 f ( x ) = x n f(x)=x^n f(x)=xn是单调递增的。如果 n < 0 n<0 n<0，函数 f ( x ) = x n f(x)=x^n f(x)=xn 是单调递减的。 奇偶性： 如果 n n n是偶数，函数 f ( x ) = x n f(x)=x^n f(x)=xn是偶函数： f ( − x ) = f ( x ) f(−x)=f(x) f(−x)=f(x)。如果 n n n是奇数，函数 f ( x ) = x n f(x)=x^n f(x)=xn是奇函数： f ( − x ) = − f ( x ) f(−x)=−f(x) f(−x)=−f(x)。 渐近线： 如果 n > 0 n>0 n>0，函数 f ( x ) = x n f(x)=x^n f(x)=xn在 x x x轴上有水平渐近线 y = 0 y=0 y=0。如果 n < 0 n<0 n<0，函数 f ( x ) = x n f(x)=x^n f(x)=xn 在 y y y轴上有垂直渐近线 x = 0 x=0 x=0。 连续性： 幂函数在其定义域内是连续的。 幂函数的公式 一般形式： f ( x ) = x n f(x)=x^n f(x)=xn 导数： d d x ( x n ) = n x n − 1 \frac d{dx}(x^n)=nx^{n−1} dxd(xn)=nxn−1 积分： ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C ∫x^n dx=\frac {x^{n+1}}{n+1}+C ∫xn dx=n+1xn+1+C